计算机数字编码入门篇(上)

前言

本文旨在为初学者提供有关计算机数字编码的基础知识,以帮助他们初步理解计算机中数字编码的概念。鉴于我个人知识的限制,如有不准确之处,欢迎指正并提供建议。

文中部分内容参考ChatGPT,在此感谢ppword的大力支持。

一、无符号整数

计算机使用不同的编码方式来表示无符号整数,最常见的编码方式是二进制。在二进制编码中,无符号整数由一串二进制数字表示,每个位上的值只有0或1,没有负号。

无符号整数的表示方法很简单,就是将整数的值用二进制表示出来。

例如,要表示十进制数42作为无符号整数,可以将其转换为二进制。这里是一个示例:

1、将十进制数42转换为二进制数:

42 / 2 = 21 余 0
21 / 2 = 10 余 1
10 / 2 = 5 余 0
5 / 2 = 2 余 1
2 / 2 = 1 余 0
1 / 2 = 0 余 1

2、反向读取余数,得到二进制表示:101010

在计算机中,通常使用固定位数来表示无符号整数,例如8位、16位、32位或64位。无符号整数的范围取决于位数,例如8位无符号整数可以表示0到255之间的值,16位无符号整数可以表示0到65535之间的值,依此类推。

无符号整数的表示方法与有符号整数不同,无符号整数没有符号位,因此可以表示更大的正整数值,但无法表示负数。

二、有符号整数

在前面我们已经知道了无符号整数是怎么用二进制来进行表示了,那有符号有整数又要怎么表示呢?

我们很容易的能想到一个办法,就是在二进制中,找到一位来专门存储这个符号就可以了,比如用最高位来表示符号位。

同样的,以前面的42为例,它的有符号二进制表示为(0)0101010(以8位为例),第1个0表示符号位为“+”,后面的是42的二进制。
那么-42就表示为(1)0101010,这就是原码。

1、什么是原码

原码是最简单的机器数表示法,用最高位表示符号位(0正1负),其他位存放该数的二进制的绝对值。

数字 42 -42
原码 0010 1010 1010 1010

2、原码的加减运算

2.1、加法运算

  • 如果两数符号位相同,就把它们的低7位相加,符号位不变。
  • 如果两数符号位不同,首先比较它们的低7位谁大,然后用大数减小数,结果的符号位和大数相同。

2.2、减法运算

  • 由于我们已经规定了负数的表示,可以把减法转换成加法来计算,要计算a-b,相当于计算a+(-b)。

如果采用原码来计算,那计算机做加减运算需要处理很多逻辑:比较符号位,比较绝对值,减法改加法,小数减大数改成大数减小数等。总的来说,计算机需要在意的事情越多,效率自然也会越低,那还有没有什么好的方法来解决呢?

3、什么是补码

计算机使用不同的编码方式来表示有符号整数,最常见的编码方式之一是二进制补码表示法。在二进制补码表示法中,有符号整数的最高位(最左边的位)通常用于表示符号(正负),而其余位用于表示整数的绝对值。它在计算机中广泛应用,特别是在执行整数的加法和减法运算时。

反码:如果是正数,则表示方法和原码一样;如果是负数,将其绝对值的原码各位取反,则得到这个数字的反码表示形式。

4、补码怎么计算

  • 正数的补码与其原码相同。

  • 负数的补码是通过对其原码取反(反码),然后加上1来获得的。

在计算机内部使用固定数量的位来表示整数:比如 32 或 64 ,简单起见,先只用 8 位举例:

数字 42 -42
原码 0010 1010 1010 1010
反码 0010 1010 1101 0101
补码 0010 1010 1101 0110

5、补码的加减运算

我们直接来看一下不同符号的两个数相加,如42+(-42)的情况:

数字 42 -42 二进制直接相加
补码 0010 1010 1101 0110 1 0000 0000

我们看到最后结果是(1)00000000,最高位已经溢出。这里要注意的是,最终的结果也是个补码,它的最高位是0,那就是下正数,所以它的原码也就是00000000,结果42+(-42) = 42-42 = 0,这不会是巧合吧?

那我们再来看一个,如35-42的情况:

数字 35 -42 二进制直接相加
补码 0010 0011 1101 0110 1111 1001

得到的结果是11111001,还记得补码是怎么计算的吧,我们反向操作,把这个结果转成原码。

  • 把11111001减去1,得到11111000
  • 把11111000除符号位外,所有位都取反,得到10000111
  • 把10000111转成十进制,结果为-7

从上面不难看出来,计算机再用补码来计算加法的时候,压根就不用考虑符号位、绝对值大小这些问题,得益于如此优雅的计算方式,使计算机可以通过加法器快速有效地完成二进制运算。

关于补码的原理,这里就不讨论了。

6、 计算机采用补码来表示数字有哪些优点

  • 加法和减法可以统一处理:在补码表示法中,不论是正数还是负数,都可以用同样的方式进行加减运算,这极大地简化了硬件电路设计。

  • 提高运算效率:由于补码的特性,一些复杂的数学运算可以转化为简单的位运算,从而提高运算的效率。

  • 补码可以直接参与运算:补码的优点就在于它可以直接参与运算,而无需转换为原码或反码。

  • 方便溢出处理:在补码系统中,可以通过观察符号位是否发生变化来方便地检测加减运算是否溢出。

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