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差分（一维）

2023-10-19 21:19 由 grave_master 发表于 #其他

一、算法描述

本篇文章介绍前缀和的逆运算，差分。

什么是差分？

  • 差分是前缀和的逆运算，比如 \(a[n]\) 是原数组，\(s[n]\) 是 \(a[n]\) 的前缀和数组，那么对于 \(s[n]\) 来说，\(a[n]\) 就是 \(s[n]\) 的差分数组。

  • 假设原数组为 \(a[n]\) ， \(b[n]\) 为差分数组，那么他们之间的关系为：b[1] = a[1]，b[2] = a[2] - a[1]，b[3] = a[3] - a[2]。

差分有什么作用？

  • 预处理出来前缀和可以在 \(O(1)\) 的时间复杂度内求得区间 \([l, r]\) 的和。那么差分有什么作用呢？

  • 如果我们要让 \([l, r]\) 区间内的数都加上 \(c\) ，如果按照遍历的方式来操作那么时间复杂度会达到 \(O(n)\) 。

  • 但是我们知道前缀和数组 \(a[n]\) 是由原数组 \(b[n]\) 求得的，所以我们可以操作 \(b[n]\) ，进而改变 \(a[n]\) ，就变得简单多了。

  • 那么如何操作 \(b[n]\) 才能使得 \(a[n]\) 在 \([l, r]\) 区间内都加上 \(c\) 呢？显然如果b[l] += c，那么对于 \(a[n]\) 来说 \(l\) 后面的所有数都会加上 \(c\) ，但是我们只需要 \([l, r]\) 区间内的数加上 \(c\) ，所以还需要b[r + 1] -= c;，这样就能达到我们想要的效果了。

如何得到差分？

  • 给定一个原数组 \(a[n]\) ，如何求得差分数组 \(b[n]\) 呢？

  • 其实很简单，由于 \(b[n]\) 刚开始都是 \(0\) ，所以插入一遍即可，insert(i, i, a[i])。

  • 因为由 \(b\) 得到的前缀和此时都是 \(0\) ，每插入一次就会让得到的前缀和变成 \(a[i]\) ，插入一遍后，通过 \(b\) 求得的前缀和就是 \(a\) ，所以此时 \(b\) 就是 \(a\) 的差分。

  • 注意insert(i, i, a[i]) 是在操作 \(b\) 数组不是 \(a\) 数组，通过 \(b\) 求一遍前缀和才能得到 \(a\)数组。

二、题目描述

输入一个长度为 \(n\) 的整数序列。

接下来输入 \(m\) 个操作，每个操作包含三个整数 \(l, r, c\) 表示将序列中 \([l, r]\) 之间的每个数加上 \(c\)。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

第二行包含 \(n\) 个整数，表示整数序列。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(l, r, c\)，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 \(n\) 个整数，表示最终序列。

数据范围

\(1≤n,m≤100000,\)
\(1≤l≤r≤n,\)
\(−1000≤c≤1000,\)
\(−1000≤整数序列中元素的值≤1000\)

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

三、题目来源

AcWing算法基础课-797.差分

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    insert(i, i, a[i]);
    
    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    a[i] = a[i - 1] + b[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    cout << a[i] << ' ';
    
    return 0;
}

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