动态规划——带权二分优化DP 学习笔记

引入

带权二分其实并不一定用于优化 DP，也可能用于优化贪心等最优化的算法。

带权二分也叫 WQS 二分，最初由王钦石在他的 2012 年国家集训队论文中提出。

定义

使用情况

• 要解决一个最优化问题（求最大 / 最小值）
• 有一个限制，一般是某个参数要求一定恰好为 \(k\)

而带权二分就可以很好的解决［恰好 \(k\) 个］的限制；以选物品取最大收益为例：

• 设 \(f(k)\) 为恰好选 \(k\) 个时的最大收益，将所有的 \((k, f(k))\) 画出来，图像必须组成一个凸包。
• 因此就可以打表看，是否组成了一个凸包，如果是，则可以考虑带权二分优化。

使用方法

例：求 \(f(k)\) 的值，我们不会求 \(f(k)\) 或者其复杂度不可接受，但是我们可以求出所有 \(1\sim n\) 中的最优解 \(f(t)\) 及对应的 \(t\)，因此我们就可以通过一些处理，将 \(f(k)\) 变为最小值，即将全局最优解变为 \(k\)。

什么方法？我们设一个额外的 \(w\)，每次选一次物品以后就将结果加上 \(w\)，也就是，我们设一个新的转移方程 \(g_k=f_k+kw\)。

注意：严谨的，是『选一次』，不是『选一个』。因为有的题目选一次对应一段区间，即多个物品。

可以预见到的，原函数（左）会变为（右）：

要注意的是，\(w\) 也可能为负；因此总会有一个 \(w\) 使得全局最优解为 \(g(k)\)，如下：

• 可以想见，如果 \(w\) 继续增大，那么最小值点 \(x_0\) 会继续变小；
• 如果 \(w\) 减小以至于变成负数，那么最小值点 \(x_0\) 会不断变大；

那么总会有一个 \(w\)，使得最小值在 \(k\) 处取到，那不就可以二分了嘛。

我们二分一个值 \(w\)（边界可以设置地大一些，当然也可能得根据题目的数据范围调一调），现在问题转化为，求 \(g(x)\) 的最小值点 \(x_0\)。

此时，不管用 DP 还是贪心啥的方法，求出 \(g(x)\) 的最小值 \(g(x_0)\)，顺便求出此时的最小值点 \(x_0\)。

• \(x_0<k\)，那就让 \(w\) 变小点；
• \(x_0>k\)，那就让 \(w\) 变大点。

最终，我们就能让 \(x_0=k\)，也就是当全局最优解取到 \(g(k)\) 的时候，我们是不是就成功的求出了原问题 \(f(k) = g(k) - kw\) 呢？

警惕

既然是二分，就一定要仔细考虑 \(l,r,mid\) 的取值以及更新边界的条件，总之，注意代码细节！

应用

例题讲解

题目：P2619 Tree I

• 画出函数来：

• 凸函数好吧，所以给白边加一个 \(w\) 的额外权：

int l = -110, r = 110;
while (l <= r) {
    int mid = l + r >> 1; Kruskal(mid);
    if (now0 >= k) {
        ans = ansg - k * mid;
        r = mid + 1;
    } else r = mid - 1;
}

• 此题完结。

题单

见：https://www.luogu.com.cn/training/393257

Reference

[1] https://www.mina.moe/archives/6349
[2] https://www.cnblogs.com/Dfkuaid-210/p/wqs_bisect.html
[3] https://blog.csdn.net/Emm_Titan/article/details/124035796
[4] https://blog.csdn.net/weixin_45429627/article/details/109270538
[5] https://blog.csdn.net/Huah_2018/article/details/113796445

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