【ACM算法竞赛日常训练】DAY4题解与分析【树】【子序列】| 组合数学 | 动态规划
DAY4共2题:
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树(组合数学)
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子序列(dp,数学)
🎈 作者:Eriktse
🎈 简介:19岁,211计算机在读,现役ACM银牌选手🏆力争以通俗易懂的方式讲解算法!❤️欢迎关注我,一起交流C++/Python算法。(优质好文持续更新中……)🚀
🎈 原文链接(阅读原文获得更好阅读体验):https://www.eriktse.com/algorithm/1095.html
树
题目传送门:https://ac.nowcoder.com/acm/problem/13611
通过观察条件“一个染色方案是合法的,当且仅当对于所有相同颜色的点对(x,y),x到y的路径上的所有点的颜色都要与x和y相同。”我们可以发现,当且仅当染色的点可以全部连通时可以满足条件。
所以现在问题是如何将n
个点划分为k
块。
我们可以发现在树上,任意删除一条边都会使得联通块个数 + 1
。
其实块数只要<= k
即可,因为我们可以有一些颜色不使用。所以要划分为i
块,只需要从n - 1
条边中任选i - 1
条进行删除即可,方案数是C(n - 1, i - 1)
。
假设现在我们得到了i (i <= k)
个联通块,需要将i
种颜色染上去,首先需要C(k, i)
种方法取出颜色,然后A(i, i)
一个全排列将颜色染上去。
所以答案公式如下:
可能涉及一些快速幂
、乘法逆元
的知识,需要自行学习。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 350, p = 1e9 + 7;
int fac[maxn];
int qmi(int a, int b)
{
int res = 1;
while(b)
{
if(b & 1)res = res * a % p;
a = a * a % p, b >>= 1;
}
return res;
}
int inv(int x){return qmi(x, p - 2);}
int C(int n, int m)
{
if(n < m || n < 0 || m < 0)return 0;
return fac[n] * inv(fac[n - m] * fac[m] % p) % p;
}
signed main()
{
int n, k;scanf("%lld %lld", &n, &k);
fac[0] = 1;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)//分为i块
{
int tmp = C(n - 1, i - 1) * C(k, i) % p * fac[i] % p;
ans = (ans + tmp) % p;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
子序列
题目传送门:https://ac.nowcoder.com/acm/problem/17065
小技巧:观察数据范围,比较小,应该可以容纳O(n^3)的复杂度,所以可以大胆考虑dp。
首先定义状态dp[i][j]
表示以第i个元素结尾,且长度为j的序列的个数。
再考虑一下转移,题目中的条件可以进行一些转换:
等价于:
我们可以记:
也就是说对于选出的子序列中的每一个元素,他们满足一个偏序关系,只要我的b[j] > b[i]
,那么b[j]
将会大于所有的b[k] (k < i)
。
所以我们可以考虑以下的转移:
考虑初始化,当最后一个元素确定,序列长度为1(j = 1)
时,方案仅有1
种。
最后的答案是将所有情况加起来(注意取模,不过这道题数据较弱,不取模也可以过)。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn = 109, p = 1e9 + 7;
//dp[i][j]表示以第i个元素结尾,长度为j的方案数
int a[maxn], dp[maxn][maxn];
signed main()
{
int n;scanf("%lld", &n);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)scanf("%lld", a + i);
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
{
dp[i][1] = 1;
for(int j = 1;j <= i; ++ j)
{
for(int k = 1; k < i; ++ k)
{
if(log(a[k]) / k < log(a[i]) / i)
{
dp[i][j] += dp[k][j - 1];
dp[i][j] %= p;
}
}
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n; ++ i)
for(int j = 1;j <= i; ++ j)
{
ans = (ans + dp[i][j]) % p;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
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