一个令人困惑的悖论,你明明知道它是错的,却很难反驳

在公元前400多年,古希腊数学家、哲学家芝诺(Zeno)曾经提出过一个令人困惑的悖论,我们先来看看这个悖论的具体内容。

这个悖论的设定是:阿基里斯(Achilles)是一个英勇的战士,也是一个奔跑速度很快的人,其速度远远地超过了乌龟。有一天,阿基里斯与一只乌龟进行了赛跑,由于他的奔跑速度很快,因此乌龟要求阿基里斯给它一些领先的优势,也就是说,当乌龟跑出一段距离之后,阿基里斯才开始追。

芝诺指出,当阿基里斯开始追的时候,乌龟已经跑出了一段距离,我们可以将乌龟此时所在的落脚点称为“起始点”,当阿基里斯跑到“起始点”的时候,乌龟又向前跑出了一段距离,抵达了第二个落脚点,而当阿基里斯跑到这个“第二个落脚点”的时候,乌龟又向前跑出了一段距离,抵达了第三个落脚点……

所以芝诺给出的观点就是,在这个过程中,阿基里斯每一次追到乌龟上一个落脚点的时候,乌龟当前所在的位置就总是会在这个落脚点的前面,在这样的情况下,虽然阿基里斯与乌龟的距离在不断缩短,但他却永远都追不上这只乌龟。

可以看到,芝诺从理论上推导出了一个与实际情况明显相悖的结果,这确实有点令人困惑,因为你明明知道它是错的,却很难反驳。不过“很难反驳”并不代表“不能反驳”,比如说根据现在的量子理论,就可以对其进行反驳。

这个悖论有一个重要的前提,那就是时间和空间都可以无限分割,但在量子理论中,时间和空间并不是可以无限分割的,它们都有一个不可再分割的单位,即普朗克时间(约5.39 x 10^-44秒)和普朗克长度(约为1.6 x 10^-35米)。

据此我们就可以这样反驳:当阿基里斯与乌龟的距离缩小到了1个普朗克长度,或者阿基利斯跑完他与乌龟的距离所需要的时间缩短到了1个普朗克时间的时候,阿基利斯就可以在下一个普朗克时间追上乌龟。那么,除了量子理论,还有没有其他的方法进行反驳呢?答案是肯定的。

芝诺实际上是把阿基里斯追上乌龟的过程分割成了无穷多个阶段,每个阶段都有一个确定的时间长度,为了方便讨论,我们可以假设阿基里斯的速度是11米/秒,乌龟的速度是1米/秒,当乌龟跑出10米的时候,阿基里斯就开始追。

这其实就是一个非常简单的追击问题,通过计算可知,阿基里斯只需要1秒钟就可以追上乌龟。

然而芝诺的思路却是这样的:当阿基里斯跑到“起始点”的时候,他用了10/11秒的时间,而此时乌龟已经跑到了“第二个落脚点”,距离“起始点”有10/11米,所以当阿基里斯跑到“第二个落脚点”,他又会用去10/11^2秒的时间,而此时乌龟已经跑到了“第三个落脚点”,距离“第二个落脚点”有10/11^2米,所以当阿基里斯跑到“第三个落脚点”,他又会用去10/11^3秒的时间,接下来所用的时间段以此类推,如10/11^4秒、10/11^5秒……

可以看到,尽管这些时间长度会越来越短,但它们的数值始终都会是一个正数。

根据我们的直觉,无穷多的正数之和,就应该是一个无限大的数字,而这也是芝诺提出的这个悖论的一个重要前提,如果这个前提成立,那么阿基里斯追上乌龟就需要无限长的时间,如此一来,阿基里斯就永远追不上乌龟。

但无穷多的正数之和,真的就必定是一个无限大的数字吗?答案当然是否定的,实际上,如果你不断地将前面我们计算出的时间长度加起来,你就会发现,无论怎么加,你计算出的结果都是小于1的。

而这也就意味着,在阿基里斯追上乌龟之前,无论他经历了多少个阶段,他所用的时间之和都是小于1秒,据此我们就可以得出,芝诺提出的观点,其实等价于这样一种说法,即:在小于1秒钟的时间里,阿基利斯永远都追不上乌龟。

显而易见的是,这是一句“正确的废话”,因为根据我们前面的计算,阿基里斯本来就需要1秒钟的时间才能追上乌龟,所以这样的说法当然是正确的,并不是一个悖论。

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