一个令人困惑的悖论，你明明知道它是错的，却很难反驳
在公元前400多年，古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno）曾经提出过一个令人困惑的悖论，我们先来看看这个悖论的具体内容。
这个悖论的设定是：阿基里斯（Achilles）是一个英勇的战士，也是一个奔跑速度很快的人，其速度远远地超过了乌龟。有一天，阿基里斯与一只乌龟进行了赛跑，由于他的奔跑速度很快，因此乌龟要求阿基里斯给它一些领先的优势，也就是说，当乌龟跑出一段距离之后，阿基里斯才开始追。
芝诺指出，当阿基里斯开始追的时候，乌龟已经跑出了一段距离，我们可以将乌龟此时所在的落脚点称为“起始点”，当阿基里斯跑到“起始点”的时候，乌龟又向前跑出了一段距离，抵达了第二个落脚点，而当阿基里斯跑到这个“第二个落脚点”的时候，乌龟又向前跑出了一段距离，抵达了第三个落脚点……
所以芝诺给出的观点就是，在这个过程中，阿基里斯每一次追到乌龟上一个落脚点的时候，乌龟当前所在的位置就总是会在这个落脚点的前面，在这样的情况下，虽然阿基里斯与乌龟的距离在不断缩短，但他却永远都追不上这只乌龟。
可以看到，芝诺从理论上推导出了一个与实际情况明显相悖的结果，这确实有点令人困惑，因为你明明知道它是错的，却很难反驳。不过“很难反驳”并不代表“不能反驳”，比如说根据现在的量子理论，就可以对其进行反驳。
这个悖论有一个重要的前提，那就是时间和空间都可以无限分割，但在量子理论中，时间和空间并不是可以无限分割的，它们都有一个不可再分割的单位，即普朗克时间（约5.39 x 10^-44秒）和普朗克长度（约为1.6 x 10^-35米）。
据此我们就可以这样反驳：当阿基里斯与乌龟的距离缩小到了1个普朗克长度，或者阿基利斯跑完他与乌龟的距离所需要的时间缩短到了1个普朗克时间的时候，阿基利斯就可以在下一个普朗克时间追上乌龟。那么，除了量子理论，还有没有其他的方法进行反驳呢？答案是肯定的。
芝诺实际上是把阿基里斯追上乌龟的过程分割成了无穷多个阶段，每个阶段都有一个确定的时间长度，为了方便讨论，我们可以假设阿基里斯的速度是11米/秒，乌龟的速度是1米/秒，当乌龟跑出10米的时候，阿基里斯就开始追。
这其实就是一个非常简单的追击问题，通过计算可知，阿基里斯只需要1秒钟就可以追上乌龟。
然而芝诺的思路却是这样的：当阿基里斯跑到“起始点”的时候，他用了10/11秒的时间，而此时乌龟已经跑到了“第二个落脚点”，距离“起始点”有10/11米，所以当阿基里斯跑到“第二个落脚点”，他又会用去10/11^2秒的时间，而此时乌龟已经跑到了“第三个落脚点”，距离“第二个落脚点”有10/11^2米，所以当阿基里斯跑到“第三个落脚点”，他又会用去10/11^3秒的时间，接下来所用的时间段以此类推，如10/11^4秒、10/11^5秒……
可以看到，尽管这些时间长度会越来越短，但它们的数值始终都会是一个正数。
根据我们的直觉，无穷多的正数之和，就应该是一个无限大的数字，而这也是芝诺提出的这个悖论的一个重要前提，如果这个前提成立，那么阿基里斯追上乌龟就需要无限长的时间，如此一来，阿基里斯就永远追不上乌龟。
但无穷多的正数之和，真的就必定是一个无限大的数字吗？答案当然是否定的，实际上，如果你不断地将前面我们计算出的时间长度加起来，你就会发现，无论怎么加，你计算出的结果都是小于1的。
而这也就意味着，在阿基里斯追上乌龟之前，无论他经历了多少个阶段，他所用的时间之和都是小于1秒，据此我们就可以得出，芝诺提出的观点，其实等价于这样一种说法，即：在小于1秒钟的时间里，阿基利斯永远都追不上乌龟。
显而易见的是，这是一句“正确的废话”，因为根据我们前面的计算，阿基里斯本来就需要1秒钟的时间才能追上乌龟，所以这样的说法当然是正确的，并不是一个悖论。