[Week 19]每日一题（C++，数学，并查集，动态规划）

2023-05-04 08:50 由 WitheredSakura 发表于 #其他

[Daimayuan] T1 倒数第n个字符串（C++，进制）
[Daimayuan] T2 排队（C++，并查集）
[Daimayuan] T3 素数之欢（C++，BFS）
[Daimayuan] T4 国家铁路（C++，数学，动态规划）
[Daimayuan] T5 吃糖果（C++，贪心）
[Daimayuan] T6 切割（C++，贪心，哈夫曼树）
[Daimayuan] T7 异或和（C++，异或，数学）
[Daimayuan] T8 分数拆分（C++，数学）
[Daimayuan] T9 简单子段和（C++，前缀和）
[Daimayuan] T10 Good Permutations（C++，数学）

[Daimayuan] T1 倒数第n个字符串（C++，进制）

给定一个完全由小写英文字母组成的字符串等差递增序列，该序列中的每个字符串的长度固定为 \(L\)，从 \(L\) 个 \(a\) 开始，以 \(1\) 为步长递增。例如当 \(L\) 为 \(3\) 时，序列为 \(aaa,aab,aac,...,aaz,aba,abb,...,abz,...,zzz\)。这个序列的倒数第 \(2\) 个字符串就是 \(zzy\)。对于任意给定的 \(L\)，本题要求你给出对应序列倒数第 \(N\) 个字符串。

输入格式

输入在一行中给出两个正整数 \(L\) （\(1≤L≤6\)）和 \(N\)（ \(N≤10^5\)）.

注意：数据范围有修改！！！

输出格式

在一行中输出对应序列倒数第 \(N\) 个字符串。题目保证这个字符串是存在的。

样例输入

6 789

样例输出

zzzyvr

解题思路

把字符串看作\(26\)进制：

0->a
1->b
2->c
...
25->z

然后把我们进制转换的辗转相除法拿出来：

int idx = len - 1;
while (num) {
	arr[idx--] = -(num % 26);
	num /= 26;
}

最后用zzz...z减去我们求得的\(26\)进制串即可。

AC代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int max_len = 10;
const int max_num = 1e5;

int arr[max_len];

int main() {
	int len, num;
	cin >> len >> num;
	num--;
	
	int idx = len - 1;
	while (num) {
		arr[idx--] = -(num % 26);
		num /= 26;
	}

	for (int i = 0; i < len; i++) {
		printf("%c", char(arr[i] + 122));
	}
	return 0;
}

[Daimayuan] T2 排队（C++，并查集）

请判断有没有一种方法可以将编号从 \(1\) 到 \(N\) 的 \(N\) 个人排成一排，并且满足给定的 \(M\) 个要求。

对于每个要求会给出两个整数 \(A_i\) 和 \(B_i\)，表示编号 \(A_i\) 和 \(B_i\) 的人是相邻的。

保证每个要求都不同，比如已经给出了 \(1,5\)，就不会再给出 \(1,5\) 或 \(5,1\)。

输入格式

第一行两个整数 \(N\) 和 \(M\)，表示 \(N\) 个人和 \(M\) 个要求。

输出格式

如果有一种能把这些人拍成一排并满足所有条件的方法，就输出 Yes，否则，输出 No。

样例输入1

4 2
1 3
2 3

样例输出1

Yes

样例输入2

样例输出2

No

样例输入3

样例输出3

No

数据规模

对于全部数据保证 \(2≤N≤10^5\)，\(0≤M≤10^5\)，\(1≤A_i<B_i≤N\)。

解题思路

本题是一道逻辑推理题。

我们推理的基础就是：一个人最多与两个人相邻。

根据这个定理，我们可以得出以下规律：

（1）在\(M\)个要求中，一个人最多出现两次；

（2）因为是队列不是环，队首和队尾不可能相邻。

条件\(1\)很容易就能用数组维护；

条件\(2\)采用并查集维护（常用于强连通分量），思路是任意两个元素只会被合并一次，所以当尝试合并在同一个集合中的元素时，判断不合理。最后，AC代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int max_len = 1e5;

int fa[max_len + 1], sum[max_len + 1];

int find(int x) {
	return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}

bool is_insame(int x, int y) {
	x = find(x); y = find(y);
	return x == y;
}

void merge(int x, int y) {
	x = find(x); y = find(y);
	fa[x] = y;
}

int main() {
	int n, m, x, y, flag = 0;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;//并查集初始化


	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cin >> x >> y;
		if (!flag) {
			if (sum[x] < 2 && sum[y] < 2) {//一个人最多与两个人相邻
				if (is_insame(x, y)) {//成环
					flag = 1;
				}
				else {
					merge(x, y);
					sum[x]++; sum[y]++;
				}
			}
			else flag = 1;
		}
	}
	if (flag) cout << "No" << endl;
	else cout << "Yes" << endl;
	return 0;
}

[Daimayuan] T3 素数之欢（C++，BFS）

现给定两个 四位素数 \(a,b\)。你可以执行多次下面的操作：

修改数字 \(a\) 的某一位, 使其成为另一个 四位素数。

例如，\(1033→1733\)，其中 \(1033\) 与 \(1733\) 均为素数。

问至少多少次变换后能从 \(a\) 得到 \(b\) ? 或回答不可能。

数据规模

多组数据 \(1≤T≤100\)

输入格式

第一行一个数字 \(T\)，表示接下来将会有 \(T\) 组数据。

接下来包含 \(T\) 行，每行包含用空格分开的两个 四位素数 \(a,b\)。

输出格式

输出 \(T\) 行，如果可以，输出最小变换次数。反之输出 \(−1\)。

样例输入

2
1033 1033
1033 8779

样例输出

0
5

说明

\(1033→1733→3733→3739→3779→8779\)

tips: you only operate \(8\) times if possible.

解题思路

找出规律困难，数据规模不大，于是考虑暴力搜索。

每次对四位数都尝试一次变换，每位数有九种变换的可能，那么每轮的操作次数就是\(9^4=6561\)

对于每组测试数据，提示说明我们最多会进行\(8\)次尝试，所以每组测试数据的最多操作次数为\(6561*8=52488\)

最多有\(100\)组测试数据，所以最多累加操作次数为\(5248800≈5*10^6\)

时间复杂度可以接受，爆搜开始。

采用广度优先搜索还是深度优先搜索？。

深度优先搜索与广度优先搜索不同在于：

深度优先搜索会尝试每一种可能的解决方法；

广度优先搜索保证搜索到的解决方法中每一步都是最少步骤。

显然广度优先搜索更适合本题的爆搜。

然后是代码实现：

（1）常规的\(BFS\)算法：

bool vis[max_n];		//访问标记物
queue<pair<int, int>>q;	//前者为数字，后者为操作次数

//队列初始化
q.push({ num1,0 });
vis[num1] = true;		
while (!q.empty()) {
	//取出队首
	q.front();
	q.pop();
	
	//BFS主体
	for (/* 对每一位进行尝试 */) {
		for (/* 变换9种数字 */) {
			int temp;
			if (temp == num2) {	 //结束条件
            	break;	
            }
            else (!vis[temp] && prime.count(temp)){		//继续搜索
            	q.push({ temp, step + 1 });
            	vis[temp] = true;
            }
		}
	}
}

保证每一步都是最小步骤数。

（2）素数判断：

注意到这里有一个prime集合用于素数判断，这里提供两种方法制作素数集合：

常规方法：

void PrimeList(int n) {
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		bool flag = true;
		for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
			if (i % j == 0) {
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if (flag) prime.insert(i);
	}
}

欧拉筛（欧拉筛传送门）：

void PrimeList(int* Prime, bool* isPrime, int n) {
	/* 欧拉筛 */
	int i = 0, j = 0, count = 0;
	memset(isPrime, true, sizeof(bool) * (n + 1));
	isPrime[0] = isPrime[1] = false;
	for (i = 2; i <= n; i++) {
		if (isPrime[i]) {
			Prime[count++] = i;
			prime.insert(i);
		}

		for (j = 0; j < count && Prime[j] * i <= n; j++) {
			isPrime[i * Prime[j]] = false;
			//欧拉筛核心，每一个合数都能拆成最小因数与最大因数的乘积
			if (i % Prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

最后，AC代码如下

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
const int max_t = 100;
const int max_epoch = 8;
const int max_n = 10000;

bool isPrime[max_n], vis[max_n];
int Prime[max_n];
set<int>prime;

void PrimeList(int* Prime, bool* isPrime, int n) {
	/* 欧拉筛 */
	int i = 0, j = 0, count = 0;
	memset(isPrime, true, sizeof(bool) * (n + 1));
	isPrime[0] = isPrime[1] = false;
	for (i = 2; i <= n; i++) {
		if (isPrime[i]) {
			Prime[count++] = i;
			prime.insert(i);
		}

		for (j = 0; j < count && Prime[j] * i <= n; j++) {
			isPrime[i * Prime[j]] = false;
			//欧拉筛核心，每一个合数都能拆成最小因数与最大因数的乘积
			if (i % Prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

//void PrimeList(int n) {
//	for (int i = 2; i <= n; i++) {
//		bool flag = true;
//		for (int j = 2; j * j <= i; j++) {
//			if (i % j == 0) {
//				flag = false;
//				break;
//			}
//		}
//		if (flag) prime.insert(i);
//	}
//}

int main() {
	PrimeList(Prime, isPrime, max_n);
	//PrimeList(max_n);
	int t, num1, num2;
	cin >> t;

	while (t--) {
		cin >> num1 >> num2;
		if (num1 == num2) {//特判
			cout << 0 << endl;
			continue;
		}
		queue<pair<int, int>>q;	//初始化队列
		memset(vis, false, sizeof(bool) * (max_n));
		vis[num1] = true;
		q.push({ num1,0 });
		bool flag = true;		//初始化标记物
		int ans = -1;
		
		while (flag && !q.empty()) {
			int num3 = q.front().first, step = q.front().second;
			q.pop();
			for (int i = 1; flag && i <= 1000; i *= 10) {//对每一位进行尝试
				int num4 = num3 / i / 10 * 10 * i + num3 % i;
				for (int j = 0; flag && j < 10; j++) {//变换9种数字
					int num5 = num4 + j * i;
					if (num5 == num2) {//找到数字
						flag = false;
						ans = step + 1;
						break;
					}
					if (!vis[num5] && prime.count(num5)) {//未找到，但是为质数
						q.push({ num5,step + 1 });
						vis[num5] = true;
					}
				}
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}

[Daimayuan] T4 国家铁路（C++，数学，动态规划）

题目描述

\(dls\)的算竞王国可以被表示为一个有 \(H\)行和 \(W\)列的网格，我们让 \((i,j)\)表示从北边第\(i\)行和从西边第\(j\)列的网格。最近此王国的公民希望国王能够修建一条铁路。

铁路的修建分为两个阶段：

从所有网格中挑选\(2\)个不同的网格，在这两个网格上分别修建一个火车站。在一个网络上修建一个火车站的代价是\(A_{i,j}\)。
在这两个网格间修建一条铁轨，假设我们选择的网格是 \((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\),其代价是 \(C×(|x_1−x_2|+|y_1−y_2|)\)。

\(dls\)的愿望是希望用最少的花费去修建一条铁路造福公民们。现在请你求出这个最小花费。

题目输入

第一行输入三个整数分别代表\(H,W,C(2≤H,W≤1000,1≤C≤10^9)\)。

接下来\(H\)行，每行\(W\)个整数，代表\(A_{i,j}(1≤A_{i,j}≤10^9)\)。

题目输出

输出一个整数代表最小花费。

样例输入1

样例输出1

样例输入2

3 3 1000000000
1000000 1000000 1
1000000 1000000 1000000
1 1000000 1000000

样例输出2

1001000001

解题思路

这道题有亿点点难QAQ。

直接枚举的时间复杂度为\(o(n^4)\)，直接\(T\)飞，所以我们需要想办法优化。

题中给出，修建一条铁轨的总花费为\(A_{x_1,y_1}+A_{x_2,y_2}+C*(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|)\)。

显然，交换一下\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)的坐标对花费没有任何影响。

所以，为了方便计算，我们规定情况\(1\)为\(x_1\ge x_2,y_1\ge y_2\)，情况\(2\)为\(x_1\ge x_2,y_1\le y_2\)。

直观的来说，以上两种情况分别为矩阵的主对角线方向和副对角线方向。

只需要讨论一种情况的算法，另外一种情况则不证自明：

对于情况\(1\)，总花费可以写为：

\[\begin{aligned} cost\_sum & = A_{x_1,y_1}+A_{x_2,y_2}+C*(x_1-x_2+y_1-y_2) \\ & = A_{x_1,y_1}+C*(x_1+y_1)+A_{x_2,y_2}-C*(x_2+y_2) \end{aligned} \]

在公式的形式简化之后，再去考虑寻找最小值的问题：

我们发现对于给定的\((x_1,y_1)\)，我们需要枚举所有符合条件的\((x_2,y_2)\)（条件为\(x_1\ge x_2,y_1\ge y_2\)，在一个小矩阵中），并找出最小值。

但与之前不同，我们现在可以对\((x_2,y_2)\)进行动态规划，然后就可以在\(O(1)\)时间内获取对于给定\((x_1,y_1)\)的最小值。

规划公式为dp[i][j] = min{ dp[i][j-1], dp[i-1][j], station[i][j] - C * (i + j)}。

for (int i = 1; i <= h; i++) {
	for (int j = 1; j <= w; j++) {
		dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], min(dp[i - 1][j], station[i][j] - C * (i + j)));
	}
}

那么计算主对角线情况下的最小值，只需要枚举另外一个点：

for (int i = 1; i <= h; i++) {
	for (int j = 1; j <= w; j++) {
		ans = min(ans, min(dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) + station[i][j] + C * (i + j));
	}
}

最后简单给出计算副对角线情况下最小值的代码以及AC代码：

副对角线算法：

for (int i = 1; i <= h; i++) {
    for (int j = w; j >= 1; j--) {
        dp[i][j] = min(dp[i][j + 1], min(dp[i - 1][j], station[i][j] + C * (j - i)));
    }
}

for (int i = 1; i <= h; i++) {
    for (int j = 1; j <= w; j++) {
    	ans = min(ans, min(dp[i - 1][j], dp[i][j + 1]) + station[i][j] + C * (i - j));
	}
}

AC代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const long long max_h = 1000;
const long long max_w = 1000;
const long long NaN = 0x3F3F3F3F3F3F3F3F;
const long long max_c = 1e9;

long long station[max_h + 2][max_w + 2], dp1[max_h + 2][max_w + 2], dp2[max_h + 2][max_w + 2];	//多开一圈，防止越界
long long h, w, C;

int main() {
	cin >> h >> w >> C;
	for (int i = 1; i <= h; i++) {
		for (int j = 1; j <= w; j++) {
			cin >> station[i][j];
		}
	}

	//DP1（主对角线）
	memset(dp1, 0x3F, sizeof(long long) * (max_h + 2) * (max_w + 2));
	for (int i = 1; i <= h; i++) {
		for (int j = 1; j <= w; j++) {
			dp1[i][j] = min(dp1[i - 1][j], min(dp1[i][j - 1], station[i][j] - C * (i + j)));
		}
	}

	//DP2（副对角线）
	memset(dp2, 0x3F, sizeof(long long) * (max_h + 2) * (max_w + 2));
	for (int i = 1; i <= h; i++) {
		for (int j = w; j >= 1; j--) {
			dp2[i][j] = min(dp2[i][j + 1], min(dp2[i - 1][j], station[i][j] + C * (j - i)));
		}
	}

	long long ans = NaN;
	//ans1（主对角线）
	for (int i = 1; i <= h; i++) {
		for (int j = 1; j <= w; j++) {
			ans = min(ans, min(dp1[i - 1][j], dp1[i][j - 1]) + station[i][j] + C * (i + j));
		}
	}

	//ans2（副对角线）
	for (int i = 1; i <= h; i++) {
		for (int j = 1; j <= w; j++) {
			ans = min(ans, min(dp2[i - 1][j], dp2[i][j + 1]) + station[i][j] + C * (i - j));
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

[Daimayuan] T5 吃糖果（C++，贪心）

桌子上从左到右放着 \(n\) 个糖果。糖果从左到右编号，第 \(i\) 块糖果的重量为 \(w_i\)。小明和小红要吃糖果。

小明从左边开始吃任意数量的糖果。（连续吃，不能跳过糖果）

小红从右边开始吃任意数量的糖果。（连续吃，不能跳过糖果）

当然，如果小明吃了某个糖果，小红就不能吃它（反之亦然）。

他们的目标是吃同样重量的糖果，请问此时他们总共最多能吃多少个糖果？

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\)，表示桌上糖果的数量。

第二行包含 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,…,w_n\)，表示糖果从左到右的重量。

输出格式

一个整数，表示小明和小红在满足条件的情况下总共可以吃的糖果的最大数量。

数据范围

\(1≤n≤2*10^5,1≤w_i≤10^4\)

输入样例

9
7 3 20 5 15 1 11 8 10

输出样例

解题思路

采用贪心算法（不断尝试吃更多的糖）解决此题：

初始化规定糖的重量相等，然后循环分支：

（1）糖的重量相等，记录当前总共吃了多少颗糖，双方再吃一颗糖；

（2）糖的重量不相等，吃的少的一方再吃一颗糖。

结束条件：双方吃糖发生冲突（题目规定：“如果小明吃了某个糖果，小红就不能吃它（反之亦然）”）。

AC代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int max_n = 2e5;
const int max_w = 1e4;

int candies[max_n];

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> candies[i];

	int l = 0, r = n - 1, l_sum = 0, r_sum = 0, ans = 0;
	while (l < r) {
		if (l_sum == r_sum) {
			ans = l - 0 + n - 1 - r;
			l_sum += candies[l++];
			r_sum += candies[r--];
		}
		else if (l_sum < r_sum) l_sum += candies[l++];
		else r_sum += candies[r--];
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

贪心证明：

初始化，规定双方吃糖量相同，吃糖数目为\(0\)。

为了确定是否存在比\(0\)大的解，我们必须要让其中一方吃一颗糖。

那么这就会导致双方吃糖量不等，要让其相等，我们必须让另一方吃一颗糖。

只要不平衡，我们就需要让吃的少的那一方继续吃。

当平衡的时候，设吃糖数目为\(ans\)。

为了确定是否存在比\(ans\)大的解，我们必须要让其中一方吃一颗糖...（依次类推，直到发生冲突）

[Daimayuan] T6 切割（C++，贪心，哈夫曼树）

题目描述

有一个长度为 \(\sum a_i\) 的木板，需要切割成 \(n\) 段，每段木板的长度分别为 \(a_1,a_2,…,a_n\)。

每次切割，会产生大小为被切割木板长度的开销。

请你求出将此木板切割成如上 \(n\) 段的最小开销。

输入格式

第 \(1\) 行一个正整数表示 \(n\)。

第 \(2\) 行包含 \(n\) 个正整数，即 \(a_1,a_2,…,a_n\)。

输出格式

输出一个正整数，表示最小开销。

样例输入

5
5 3 4 4 4

样例输出

数据范围

对于全部测试数据，满足 \(1≤n,a_i≤10^5\)。

附加说明

原题：[NOIP2004 提高组] 合并果子 / [USACO06NOV] Fence Repair G

需要 O(n) 解法的数据加强版（\(1≤n≤10^7\)）

解题思路

首先我们采用逆向思维，改变题意为：

把\(n\)块长度分别为 \(a_1,a_2,…,a_n\)的木板合并成一块，每次合并只能操作两块，会产生合并后木板长度的开销。

可以很容易发现这和题意描述是一样的。

然后引入核心思路：哈夫曼树。

哈夫曼树常用于数据压缩（本质上是编码方式），基本思想就是：

统计文本中的所有符号的词频，每次选择词频最低的两个进行操作，将它们连到一个新的父节点上，然后将父节点赋值为二者词频之和，直到生成一棵树。

这种方式能够保证词频越小的节点深度越深（编码长度越长），词频越高的节点深度越浅（编码长度越短），也就完成了数据压缩。

那么这和本题有什么关系？

我们可以认为哈夫曼树中的叶子节点就是\(n\)块木板，节点深度就是木板被操作的次数。

（注：我们可以把合并后的木板仍然看成是多块木板，只不过这几块木板可以一起操作。）

所以，深度越深也就代表着这块木板被操作的次数越多，深度越浅也就代表着这块木板被操作的次数越少。

故哈夫曼树算法能够保证最小开销。

代码实现：

采用优先队列维护木板，每次取出两块进行合并，然后将合并后的木板插入队列。

AC代码如下：

（前排提示：/* 十年OI一场空，不开long long见祖宗 */）

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int max_n = 1e5;
const int max_a = 1e5;

priority_queue<long long, vector<long long>, greater<long long>>pq;

int main() {
	long long n, temp;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> temp;
		pq.push(temp);
	}

	long long ans = 0;
	while (pq.size() > 1) {
		long long b1 = pq.top(); pq.pop();
		long long b2 = pq.top(); pq.pop();
		pq.push(b1 + b2);
		ans += (long long)(b1) + (long long)(b2);
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

后排推一下我写的合并果子\(qwq\)

然后是数据加强版合并果子：

贪心算法是不能优化的了，可以优化的地方在于优先队列。

因为我们每次将合并后的果堆插入队列中，队列都会运行排序算法找到应该插入的位置。

优化的前提是这样的：

每次合并后的果堆一定不会比上一次合并得到的果堆小。

那么我们就不需要将其插入优先队列，只需要另外维护一个队列用来存储合并后的果堆，然后每次取出两个队列中队首比较小的一个即可。

直观的思路是这样的：

首先采用比快速排序更快的排序算法桶排序，将果堆维护在一个有序队列中；

然后再维护一个队列用于存储合并后的果堆；

最后运行的贪心算法与之前一致。

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int max_a = 1e5;

queue<long long>q1, q2;
int buckets[max_a + 1];

int main() {
	int n, temp;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d", &temp);
		buckets[temp]++;
	}

	for (int i = 1; i <= max_a; i++) {
		while (buckets[i]--) {
			q1.push((long long)(i));
		}
	}

	long long t1, t2, ans = 0;
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		if (q2.empty() || !q1.empty() && q1.front() < q2.front()) {
			t1 = q1.front();
			q1.pop();
		}
		else {
			t1 = q2.front();
			q2.pop();
		}

		if (q2.empty() || !q1.empty() && q1.front() < q2.front()) {
			t2 = q1.front();
			q1.pop();
		}
		else {
			t2 = q2.front();
			q2.pop();
		}

		q2.push(t1 + t2);
		ans += t1 + t2;
	}

	cout << ans << endl;
	return 0;
}

其实这段代码还会\(T\)，怎么优化？当然是用无敌的快读了：

void read(int& x) {
    x = 0;
    char c = getchar();
    while ('0' <= c && c <= '9') {
        x = x * 10 + c - '0';
    	c = getchar();
    }
}

[Daimayuan] T7 异或和（C++，异或，数学）

给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a_1,a_2,...,a_n\)。请你求出下面式子的模\(1e9+7\)的值。

\(\sum_{i=1}^{n-1}{\sum_{j=i+1}^{n}{(a_i\ XOR\ a_j)}}\)

输入格式

第一行一个数字 \(n\)。

接下来一行 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,…,a_n\)。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例输入

3
1 2 3

样例输出

数据规模

所有数据保证 \(2≤n≤300000,0≤a_i<2^{60}\)。

解题思路

依照题意，我们只能直接跑二重循环（因为\(a_i\)和\(a_j\)的组合不会重复，也就是说没有子结构的概念），这肯定会\(TLE\)。

那么我们考虑异或操作的性质：

异或操作是位操作，无视整个位串的意义，只能看到单个位。——条件（1）

然后重新审视\(\sum_{i=1}^{n-1}{\sum_{j=i+1}^{n}{(a_i\ XOR\ a_j)}}\)。

这个式子就是对任意两个元素进行异或操作然后做和，也就是说尝试了所有的组合（\(C_n^2\)）。——条件（2）

再来看一下异或操作的性质：同则为假，不同为真。——条件（3）

如何利用三个条件优化算法？这里通过一个简单的例子来理解：

有位串\(1000 0111\)，我们对任意两个位进行异或操作，然后做和。很容易发现，其和为\(4*4=16\)。就是\(1\)的数量乘上\(0\)的数量。

然后我们回去看一眼题中的例子：

	1	2	3
1	1	0	1 -> 2 * 1 = 2
2	0	1	1 -> 2 * 2 = 4
4	0	0	0 -> 0 * 4 = 0

比起之前那个简单的例子，也就是多了个权重，仅此而已。

接下来简单说一下代码如何实现：

我们维护每一个位上\(1\)（也可以是\(0\)）出现的次数；

然后遍历每一个位，累计：\(0\)的数量\(*1\)的数量\(*\)权重。

AC代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int max_len = 60;
const long long max_a = (1LL << 60LL) - 1LL;
const int max_n = 300000;
const long long mod_num = 1e9 + 7;

long long sum[max_len];

inline void read() {
	long long x, idx = 0;
	cin >> x;
	while (x) {
		sum[idx++] += x & 1;
		x >>= 1;
	}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) read();
	
	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i < max_len; i++) {
		long long power = (1LL << (long long)(i)) % mod_num;
		long long comb = sum[i] * (n - sum[i]) % mod_num;
		ans = (ans + (power * comb) % mod_num) % mod_num;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

[Daimayuan] T8 分数拆分（C++，数学）

输入正整数 \(k\)，找到所有的正整数 \(y≤x\), 使得 \(\frac1k=\frac1x+\frac1y\)。

输入格式

输入一个正整数 \(k(1≤k≤10^7)\)。

输出格式

输出一个数，表示满足条件的\(x,y\)的个数。

样例输入

样例输出

解题思路

题目要求很好理解：找出的\(x,y\)使得\(k=\frac{xy}{(x+y)}\)。

那么如何找出这样的\(x,y\)？或者说，如何找到\(x,y\)中的一个？

我们进一步把公式变换为\(y=\frac{kx}{x-k}\)（其中\(k < x \le y\)）。

但是仍然不好求解。

那么进一步研究公式的形式，有\(x=k+b(b>0)\)，那么有：

\(y=\frac{k^2+bk}{b}\)

于是有\(k^2\ mod\ b =0\)和\(bk\ mod\ b=0\)。

根据前者，我们可以知道\(b\)是\(k^2\)的因子，第二个条件是显然成立的。

再考虑\(x\le y\)这个条件，根据题意有\(x\le 2k\)，则有\(b\le k\)。

那么求解就变得容易了，我们枚举因子即可，时间复杂度为\(o(k)\)。

最后，AC代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
long long max_k = 1e7;

int main() {
	long long k, x, y, ans = 0;
	cin >> k;
	long long temp = k * k;
	for (long long i = 1; i <= k; i++) {
		if (temp % i == 0) {
			ans++;
		}
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

[Daimayuan] T9 简单子段和（C++，前缀和）

给出一个长为 \(N\) 的整数数组 \(A\) 和一个整数 \(K\)。

请问有数组 \(A\) 中有多少个子数组，其元素之和为 \(K\)？

输入格式

第一行两个整数 \(N\) 和 \(K\)，表示数组 \(A\) 的大小，和给出的整数 \(K\)。

第二行 \(N\) 个整数，表示数组 \(A\) 中的每个元素 \(A_1,...,A_n\)。

输出格式

输出一个整数，表示答案。

样例输入1

6 5
8 -3 5 7 0 -4

样例输出1

有三个子数组（\(A_1,A_2\)），（\(A_3\)），（\(A_2,...,A_6\)）满足条件。

样例输入2

2 -1000000000000000
1000000000 -1000000000

样例输出2

数据规模

对于全部数据保证 \(1≤N≤2×10^5\)，\(|A_i|≤10^9\)，\(|k|≤10^{15}\)。

解题思路

直接枚举的时间复杂度是\(O(N^2)\)，必然\(TLE\)，所以考虑优化。

对于连续区间和问题，我们常常会使用前缀和。

前缀和很好理解，也很好实现，但是怎么应用到这道题中？

观察这个式子：\(k=pre-(pre-k)\)。（~~这不是废话嘛~~）

\(pre\)和\(pre-k\)代表着两个前缀和。

那么现在我们只需要遍历每一个\(pre\)，统计相应的\(pre-k\)数目即可。

这里采用在线做法实现：

（1）动态更新当前的前缀和；

（2）计算\(pre-k\)的数量；

（3）前缀和\(pre\)的数量++。

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <map>
using namespace std;
const int max_n = 2e5;
const int max_a = 1e9;
const long long max_k = (long long)(1e10) * (long long)(1e5);

map<long long, int>m;

int main() {
	long long n, k, temp, sum = 0, ans = 0;
	m.insert({ 0LL,1 });
	cin >> n >> k;
	//scanf("%lld%lld", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> temp;
		//scanf("%lld", &temp);
		sum += temp;
		if (m.find(sum - k) != m.end())
			ans += m[sum - k];
		m[sum]++;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

[Daimayuan] T10 Good Permutations（C++，数学）

对于每一个长度为 \(n\) 的排列 \(a\)，我们都可以按照下面的两种方式将它建成一个图：

1.对于每一个 \(1≤i≤n\)，找到一个最大的 \(j\) 满足 \(1≤j<i,a_j>a_i\)，将 \(i\) 和 \(j\) 之间建一条无向边

2.对于每一个 \(1≤i≤n\)，找到一个最小的 \(j\) 满足 \(i<j≤n,a_j>a_i\)，将 \(i\) 和 \(j\) 之间建一条无向边

注意：建立的边是在对应的下标 \(i,j\) 之间建的边

请问有多少种长度为 \(n\) 的排列 \(a\) 满足，建出来的图含环

排列的数量可能会非常大，请输出它模上 \(10^9+7\) 后的值

输入描述

第 \(1\) 行给出 \(1\) 个数 \(T(1≤T≤10^5)\)，表示有 \(T\) 组测试样例

第 \(2\) 到 \(T+1\) 行每行给出一个数 \(n(3≤n≤10^6)\)，表示排列的长度

输出描述

输出符合条件的排列的数量模上 \(10^9+7\) 后的值

样例输入

1
4

样例输出

解题思路

题意直观理解：\(i\)与\(j\)建边需要两个条件

（1）\(a_i<a_j\)；

（2）要求索引距离最近。

设函数\(f(x)=a_x\)，观察规律可以得到：只要函数存在极小值，那么就可以成环。

存在极小值的情况很多，正难则反，我们去求不可以成环的情况，也就是不存在极小值。

直观来看，不存在极小值的\(f(x)\)大致是这样的：

最大值点是固定的，我们只需要统计有多少种不同左右集合的组合：

\(C^0_{n-1}+C^1_{n-1}+...+C^{n-1}_{n-1}=2^{n-1}\)

所以计算公式为\(ans=n!-2^{n-1}\)。

最后，AC代码如下

#include <iostream>
using namespace std;
const long long mod_num = 1e9 + 7;
const long long max_n = 1e6;

long long factorial[max_n + 1], expo[max_n + 1];

void init() {
	//阶乘
	factorial[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= max_n; i++) {
		factorial[i] = (factorial[i - 1] * (long long)(i)) % mod_num;
	}

	//2的i次幂
	expo[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= max_n; i++) {
		expo[i] = (expo[i - 1] << 1LL) % mod_num;
	}
}

long long solve(long long n) {
	long long ret = (factorial[n] - expo[n - 1]) % mod_num;
	if (ret < 0) ret += mod_num;
	return ret;
}

int main() {
	init();
	long long T;
	cin >> T;
	while (T--) {
		long long n;
		cin >> n;
		cout << solve(n) << endl;
	}
	return 0;
}

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