正则化
1、正则化的理解
当模型的复杂度>>数据的复杂度时，会出现过拟合现象，即模型过度拟合了训练数据，其泛化能力变差。为此，会通过数据增强、降维、正则化等方法防止模型过拟合。
\[\mathop{\arg\min}\limits_{\omega} (\mathcal{L}(w) + \lambda \Omega(w))
\]
式子里面，前者为损失函数，后者为正则化项。
从数学角度理解，以线性回归为例，其损失函数为：
\[\mathcal{L}(\omega) = \sum^{N}_{i=1}||\omega^T -y_i||^2
\]
可以得到：
\[W = (X^TX)^{-1}X^TY
\]
需要对\(X^TX\)求逆，才能得到解。
对于$X_{N \times P}$，$x_i \in \mathbb{R}^P$，其中$N$为样本数，$P$为样本维度。当$P>>N$时，在数学上，表现为$X^TX$不可逆，在现象上，即为模型过拟合。若以\(L2\)正则化方法进行约束，则有：
\[\begin{aligned}
J(\omega) &=\sum^{N}_{i=1}||\omega^T -y_i||^2 +\lambda W^TW \\
&=(W^TX^T-Y^T)(XW-Y) + \lambda W^TW \\
&=W^TX^TXW -W^TX^TY-Y^TXW+YY^T+\lambda W^TW \\
&=W^TX^TXW-2W^TX^TY+Y^TY+\lambda W^TW \\
&=W^T(X^TX+\lambda I)W - 2W^TX^TY+Y^TY
\end{aligned}\]
求导：
\[\begin{aligned}
\frac{\partial J(\omega)}{\partial \omega} = 2(X^TX+\lambda I)W -2X^TY
\end{aligned}
\]
解得：
\[\begin{aligned}
W = (X^TX+\lambda I)^{-1}X^TY
\end{aligned}\]
\(X^TX\) 为半正定矩阵，\(\lambda I\) 为半角矩阵，故 \((X^TX+\lambda I)\) 一定可逆，这从数学上解释了正则化的原因。
2、\(L2\)正则化（岭回归，Ridge Regression ）
神经网络中，参数 \(\theta\) 包括每一层的权重 \(\omega\) 和偏置 \(b\)，通常情况下，只对权重 \(\theta\) 进行惩罚，因为其关联两个变量之间的相互作用，而 \(b\) 仅控制一个参数，不进行正则化也不会导致太大方差，为了减小空间，所有层使用共同的权重衰减。
TODO.......
3、\(L1\)正则化（Lasso）
4、Dropout
5、多任务学习（Multi-task）
6、数据增强、添加噪声等
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