递归与回溯法
递归
引入
什么是递归？先看大家都熟悉的一个民间故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说，从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说……。象这样，一个对象部分地由它自己组成，或者是按它自己定义，我们称之为递归。
一个函数、过程、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部又直接或间接地出现有其本身的引用，则称它们是递归的或者是递归定义的。在程序设计中，过程或函数直接或者间接调用自己，就被称为递归调用。
递归的概念
- 递归过程是借助于一个递归工作栈来实现的
- 问题向一极推进，这一过程叫做递推；
- 问题逐一解决，最后回到原问题，这一过程叫做回归。
- 递归的过程正是由递推和回归两个过程组成。
用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些，所以当问题本身是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决方法是递归形式的时候，往往采用递归算法来解决。
递归的应用及实现
递归算法在可计算性理论中占有重要地位，它是算法设计的有力工具，对于拓展编程思路非常有用。就递归算法而言并不涉及高深数学知识，只不过初学者要建立起递归概念不十分容易。
我们先从一个最简单的例子导入。
求斐波那契数列的第n位（C++代码）：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int fibonacci(int n) { 5 if (n <= 1) { 6 return n; 7 } else { 8 return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2); 9 } 10 } 11 12 int main() { 13 int n ; 14 cin >> n ; 15 printf("斐波那契数列前 %d 项为：\n", n); 16 for (int i = 1; i <= n; i++) { 17 printf("%d ", fibonacci(i)); 18 } 19 printf("\n"); 20 return 0; 21 }
回溯法
回溯法的概念与模板
回溯法是一种常用的算法，它主要用于解决一些组合优化问题，例如八皇后问题、0/1背包问题等。回溯法的基本思想是：从问题的某一种状态开始，搜索所有可能的情况，直到找到符合要求的解为止。
回溯法的实现过程通常采用递归的方式，每次递归都会尝试一种可能的情况，如果这种情况不符合要求，就回溯到上一层递归，尝试其它的情况。在回溯的过程中，需要记录已经尝试过的情况，以避免重复计算。
回溯法的时间复杂度通常比较高，因为它需要搜索所有可能的情况。但是，在一些特殊的情况下，回溯法可以通过剪枝等优化技巧来提高效率。
回溯法是一种常用的算法思想，可以用于解决很多问题，比如八皇后问题、0/1背包问题等。下面是一个用C语言实现回溯法的模板：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 #define MAX_N 100 // 最大的问题规模 4 5 int n; // 问题规模 6 int a[MAX_N]; // 存储解的数组 7 8 // 检查当前解是否合法 9 int check(int cur) { 10 // TODO: 根据具体问题实现 11 } 12 13 // 回溯函数 14 void backtrack(int cur) { 15 if (cur == n) { // 找到一个解 16 // TODO: 处理解的代码 17 return; 18 } 19 for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举当前位置的所有可能取值 20 a[cur] = i; // 尝试将当前位置设为i 21 if (check(cur)) { // 如果当前解合法 22 backtrack(cur + 1); // 继续搜索下一个位置 23 } 24 } 25 } 26 27 int main() { 28 // TODO: 读入问题规模n和其它必要的输入 29 backtrack(0); // 从第0个位置开始搜索 30 return 0; 31 }
在实际使用中，需要根据具体问题实现check函数和处理解的代码。
八皇后问题
下面是一个八皇后问题的回溯法实现：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 const int N = 8; 5 int queen[N]; // 存放每一行皇后所在的列号 6 7 bool check(int row, int col) // 判断当前位置是否可以放置皇后 8 { 9 for (int i = 0; i < row; i++) 10 { 11 if (queen[i] == col || abs(row - i) == abs(col - queen[i])) 12 return false; 13 } 14 return true; 15 } 16 17 void backtrack(int row) // 回溯函数 18 { 19 if (row == N) // 找到一组解 20 { 21 for (int i = 0; i < N; i++) 22 cout << queen[i] << " "; 23 cout << endl; 24 return; 25 } 26 27 for (int col = 0; col < N; col++) // 枚举当前行所有可能的列 28 { 29 if (check(row, col)) // 如果当前位置可以放置皇后 30 { 31 queen[row] = col; // 记录当前皇后所在的列号 32 backtrack(row + 1); // 继续搜索下一行 33 } 34 } 35 } 36 37 int main() 38 { 39 backtrack(0); 40 return 0; 41 }
在上面的代码中，check函数用于判断当前位置是否可以放置皇后，backtrack函数用于搜索所有可能的情况。在搜索过程中，queen数组用于记录每一行皇后所在的列号。
回溯法是一种非常实用的算法，它可以解决很多组合优化问题。但是，由于回溯法的时间复杂度较高，因此在实际应用中需要注意优化。
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